Producto de Inercia

Producto de Inercia de área

El producto de inercia de un área esta definido respecto a un par de ejes perpendiculares entre sí, en el plano de dicha área. Así, para la figura mostrada, definimos el producto de inercia respecto a los ejes x e y de la siguiente manera:

\[\int xydA\]

De esta definición vemos que cada elemento diferencial de area dA es multiplicado por el producto de sus coordenadas. Como consecuencia, los productos de inercia puedes ser positivos, negativos, o cero, dependiendo de su posición respecto a los ejes coordenadas.

Positivo o negativo

Si toda el área se encuentra en el primer cuadrante, el producto de las coordenadas será siempre positivo, y por ende el producto de inercia resultante también lo será. Ahora, si la totalidad del área se encuentra en el segundo cuadrante, ya que cada elemento diferencial poseerá una coordenada y positiva y una coordenada x negativa, el producto de inercia será negativo. De la misma forma para el tercer cuadrante, ambas coordenadas negativas generarán un producto de inercia positivo. Finalmente para el cuarto cuadrante, uno negativo.

Cuando el area se encuentra en mas de un cuadrante, el signo dependerá de la distribución de area en cada cuadrante.

Ejes de simetría

Un caso especial se encuentra cuando uno de los ejes corresponde a un eje de simetría del área. Por ejemplo consideremos este ejemplo, simétrico con respecto al eje x.

Para cada elemento diferencial dA, siempre existen otro elemento dA con la misma coordenada x, pero con coordenadas y iguales y opuestas en signo. Por ello, la suma de sus productos de inercia se cancelan mutuamente en la integración. Ya que esto ocurre para toda el area, el producto de inercia total será cero.

De aquí obtenemos una gran conclusión:

“El producto de inercia de un area es cero con respecto a cualquier par de ejes, si al menos uno de ellos es un eje de simetría del área.”

Unidad de medida

El producto de inercia tiene unidades de longitud a la cuarta potencia, m4 ,mm4, pulgada4,etc.

Segundo teorema de Steiner

Ahora, de forma análoga al calculo de la inercia o momento de inercia, para el cálculo de productos de inercia respecto a ejes paralelos, contamos con el teorema de los ejes paralelos para productos de inercia, o segundo teorema de Steiner, que nos dice:

El producto de inercia respecto a un par de ejes paralelos, corresponde al producto de inercia respecto a un par de ejes que pasan por el centroide, mas el producto de su área y las distancias entre ejes.

Este nuevo teorema facilita en gran manera el calculo de productos de inercia de figuras compuestas.

En el siguiente vídeo, veremos en que consiste el Producto de Inercia de una sección plana.